Come si diffonde un virus in una popolazione? Una semplice interpretazione

Il modello SIR è un semplice modello matematico sviluppato nel 1927 dagli scienziati William Ogilvy Kermack e Anderson Gray McKendrick allo scopo di ottenere un modello dinamico che spieghi la dinamica evolutiva dell’epidemia di una particolare malattia in una popolazione.

Lo scopo del modello è quello di descrivere e prevedere come si evolve nel tempo il numero degli infetti, dei suscettibili e dei ristabiliti.
Inizialmente introdurremo il modello considerando la popolazione come un insieme chiuso in cui non sono presenti i fattori immigrazione/natalità ed emigrazione/mortalità.

Introduciamo le ipotesi alla base del modello:

• Tempo di infezione relativamente piccolo rispetto alle aspettative di vita medie.
• Numero di infetti come percentuale apprezzabile della popolazione caso di studio.
• La trasmissione dell’infezione avviene tramite un contatto diretto tra gli individui appartenenti alla popolazione.
• Il periodo di incubazione viene considerato molto piccolo cosi da poter assumere che sia ininfluente.

A queste ipotesi, aggiungeremo sempre l’ipotesi che la popolazione studiata sia molto grande, cosicché si possano ignorare le fluttuazioni casuali e usare un modello deterministico.

La popolazione “N” viene suddivisa in 3 compartimenti, il cui flusso è unidirezionale ed è funzione continua del tempo “t”:

• Gruppo S(t) definito anche “Suscettibili al tempo t”; in questo gruppo vengono inserite tutte le persone che sono potenzialmente infettabili, il flusso di persone dal gruppo S al gruppo I avviene quando una persona del gruppo S contrae il virus.
• Gruppo I(t) definito anche “Infetti al tempo t”; in questo gruppo vengono inserite tutte le persone che hanno contratto il virus17 e possono contagiare i suscettibili, una volta che la persona infettata guarisce e non viene considerata più come una minaccia viene spostata nel gruppo R.
• Gruppo R(t) definito anche “Ristabiliti al tempo t”; ossia quelli che non sono infetti ma possono essere contagiati o perché vaccinati o perché immuni alla malattia o perché, essendosi già infettati e poi guariti, hanno sviluppato gli anticorpi alla malattia.

Consideriamo che N(t) = S(t) + I(t) + R(t) = 1, essendo N una popolazione chiusa.

Ogni compartimento ha consistenza descritta con un numero compreso tra 0 ed 1.

Il flusso unidirezionale di persone che transitano da un gruppo all’altro è definito attraverso 3 equazioni differenziali che sono alla base del modello:

Dobbiamo notare che la transizione tra il gruppo I ed il gruppo R avviene in modo spontaneo, a seguito di un processo fisiologico di ristabilimento dello stato di salute iniziale senza che ci siano contatti tra individui.

La velocità di diffusione del virus nella popolazione dipende da quante persone infetta in media un contagiato attraverso il fattore R0 definito “numero di riproduzione base”, il quale rappresenta il numero medio di infezioni secondarie prodotte da ciascun individuo infetto in una popolazione completamente suscettibile cioè mai venuta a contatto con il nuovo patogeno emergente.

Se tale numero è superiore a 1 il contagio si diffonde e viene definito esponenziale. Se il numero è minore di 1 il contagio si estingue.

R0 quindi è un parametro essenziale per capire quanto velocemente un virus può diffondersi tra la popolazione, nello specifico viene rappresentato attraverso la seguente formula:

In precedenza, abbiamo detto che poiché un virus sfoci in un’epidemia il numero di individui infetti deve crescere positivamente al trascorrere del tempo, cioè che:

All’inizio di un’epidemia S(0) =N(0), cioè che quasi tutti (tranne il caso indice, il che implica che I(0)=1 ) è suscettibile, prendendo questa assunzione andiamo a sostituire S=1 nella disuguaglianza ottenuta precedentemente ed arriviamo a:

Possiamo concludere che

Abbiamo calcolato il nostro R0 per il nostro modello partendo dalle equazioni differenziali fondamentali del sistema.

Dato che stiamo considerando la popolazione N come chiusa possiamo affermare che essendo

N(t) = S(t) + I(t) + R(t)

Allora:

questo ci impone di non considerare che il virus possa essere mortale per gli individui della popolazione N25 e che ci sia omogeneità spaziale.

All’interno delle 3 equazioni differenziali stesse abbiamo già descritto implicitamente come avvenga l’evoluzione temporale dell’epidemia.

Anche se assumiamo che ci siano 0 infetti al t (0) l’epidemia esploderà poiché un caso indice verrà infettato nel corso del tempo.

Un’altra possibile soluzione del sistema delle 3 equazioni differenziali, con le condizioni iniziali da noi assunte, è dato dalla curva epidemica sul piano Infetti-Suscettibili:

In questo caso il massimo della curva lo abbiamo in prossimità di:

Notiamo anche qui che se R0 diventa più piccolo, il picco massimo di infetti raggiungibile dall’epidemia diminuisce. Facendo qualche calcolo e dividendo le prime due equazioni differenziali otteniamo la seguente equazione:

Arrivando a definire I come funzione di S, ottenendo un’equazione approssimata per la traiettoria epidemica precedente;

Adesso abbiamo ottenuto il massimo assoluto del numero di infetti sempre inerente alla traiettoria epidemica di cui abbiamo ricavato precedentemente l’equazione;

Avendo ricavato tutte le espressioni necessarie per capire la traiettoria epidemica possiamo vedere che oltre ad essere valida l’assunzione per la quale al diminuire di R0 diminuisce il picco massimo di infetti possibile, la I torna uguale a 0 per un valore positivo di S, quindi quando I=0 abbiamo un numero di S > 0 per cui l’epidemia finisce prima che tutta la popolazione sia stata infettata.

Come è facile intuire, le restrizioni governative introdotte, come la quarantena o la distanza minima di sicurezza, hanno la finalità di ridurre la diffusione dell’epidemia in due modi:

• la quarantena e l’isolamento volontario diminuiscono il numero di suscettibili esposti alla possibile infezione (S).
• la diminuzione dei contatti tra gli appartenenti diminuisce indirettamente R0 tramite il parametro “c”.